Question

設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n+1=a_n+1S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）若a₁，S₂，-2a₂成等比數(shù)列，求S₂和a₃．
（Ⅱ）求證：對(duì)k≥3有0≤a_k≤．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意，得S₂²=-2S₂，由S₂是等比中項(xiàng)知S₂=-2，由此能求出S₂和a₃．
（Ⅱ）由題設(shè)條件知S_n+a_n+1=a_n+1S_n，S_n≠1，a_n+1≠1，且，，由此能夠證明對(duì)k≥3有0≤a_n-1≤．
解答：解：（Ⅰ）由題意，
得S₂²=-2S₂，
由S₂是等比中項(xiàng)知S₂≠0，
∴S₂=-2．
由S₂+a₃=a₃S₂，解得．
（Ⅱ）證明：因?yàn)镾_n+1=a₁+a₂+a₃+…+a_n+a_n+1=a_n+1+S_n，
由題設(shè)條件知S_n+a_n+1=a_n+1S_n，
∴S_n≠1，a_n+1≠1，且，
從而對(duì)k≥3 有 ①
因，且，
要證，由①，只要證
即證，即，
此式明顯成立，因此．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理運(yùn)用．