Question

7．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），若橢圓上存在點P，使得csin∠PF₁F₂=asin∠PF₂F₁≠0，則離心率e的取值范圍是（　　）

• A． $（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• B． $（\sqrt{2}-1，1）$
• C． $[\sqrt{2}-1，1）$
• D． $（0，\sqrt{2}-1]$

Answer 1

分析 由正弦定理及橢圓的離心率公式可知：橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}$，$\frac{丨P{F}_{1}丨}{丨P{F}_{2}丨}$=e，作出橢圓的左準線l，作PQ⊥l于Q，根據(jù)橢圓的第二定義得|PQ|=|PF₂|=$\frac{丨P{F}_{1}丨}{e}$．設P（x，y），將|PF₁|、|PF₂|表示為關于a、c、e、x的式子，利用|PF₂|+|PF₁|=2a，解出x═$\frac{ae-a}{e（e+1）}$．最后根據(jù)橢圓上點的橫坐標滿足-a≤x≤a，建立關于e的不等式并解得e＜-1-$\sqrt{2}$或e＞$\sqrt{2}$，根據(jù)橢圓離心率的取值范圍，即可得到該橢圓離心率的取值范圍．

解答 解：∵△PF₁F₂中，由正弦定理得$\frac{丨P{F}_{1}丨}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}$=$\frac{丨P{F}_{2}丨}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}$，
∴$\frac{丨P{F}_{1}丨}{丨P{F}_{2}丨}$=$\frac{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}$．
又∵csin∠PF₁F₂=asin∠PF₂F₁，
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}$，由此可得$\frac{丨P{F}_{1}丨}{丨P{F}_{2}丨}$=e，
作出橢圓的左準線l，設P在l上的射影為點Q，連結PQ，
由橢圓的第二定義，得$\frac{丨P{F}_{1}丨}{丨PQ丨}$=e，
因此|PQ|=|PF₂|=$\frac{丨P{F}_{1}丨}{e}$．
設P（x，y），可得|PQ|=x+$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∴|PF₂|=x+$\frac{{a}^{2}}{c}$，|PF₁|=e|PF₂|=e（x+$\frac{{a}^{2}}{c}$）．
由橢圓的第一定義，得|PF₂|+|PF₁|=2a，即（1+e）（x+$\frac{{a}^{2}}{c}$）=2a，解得x=$\frac{2a}{1+e}$-$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{ae-a}{e（e+1）}$．
∵P（x，y）為橢圓上一點，滿足-a＜x＜a，
∴-a＜$\frac{ae-a}{e（e+1）}$＜a，即-1＜$\frac{e-1}{e（e+1）}$＜1，
解得e＜-1-$\sqrt{2}$或e＞$\sqrt{2}$，
∵橢圓的離心率e∈（0，1），
∴該橢圓離心率的取值范圍是（$\sqrt{2}$-1，1）．
故選B．

點評 本題考查橢圓的第二定義的應用，考查離心率的取值范圍．著重考查了正弦定理、橢圓的定義與簡單幾何性質和不等式的解法等知識，屬于難題．