Question

20．兩邊靠墻的角落有一個區(qū)域，邊界線正好是橢圓軌跡的部分，如圖所示，現(xiàn)要設(shè)計一個長方形花壇，要求其不靠墻的頂點正好落在橢圓的軌跡上．
（1）根據(jù)所給條件，求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求長方形面積S與邊長x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求當(dāng)邊長x為多少時，面積S有最大值，并求其最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意，橢圓的焦點在x軸上，a=2，b=1，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得y=$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$，即可求長方形面積S與邊長x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）設(shè)x=2cosα，y=sinα，S=xy=sin2α，即可求出面積S最大值及x．

解答 解：（1）由題意，橢圓的焦點在x軸上，a=2，b=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得y=$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$，
∴S=x•$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$（0＜x＜2），
（3）設(shè)x=2cosα（0＜α＜$\frac{π}{2}$），y=sinα，S=xy=sin2α，
∴α=45°時，面積S有最大值1，此時x=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程，考查橢圓方程的運(yùn)用，考查學(xué)生可以熟悉知識解決實際問題的能力，確定橢圓的方程是關(guān)鍵．