Question

已知函數f（x）=ax+blnx（a、b∈R）在區(qū)間（0，2）上單調遞減，（2，+∞）上單調遞增，且f（x）的極小值為2-2ln2．
（1）求實數a、b的值；
（2）若函數g（x）=x²+mx-f（x）在定義域內是單調遞增函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）由題意可得，f′（2）=0，f（2）=2-2ln2，從而可得a，b的方程組，解出即可；
（2）易求g（x），g（x）=x²+mx-f（x）在定義域內是單調遞增函數，等價于g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，分離參數m后轉化為求函數最值，利用導數可求得最大值；

解答： 解：（1）f′（x）=a+

b

x

，
由題意知x=2為函數f（x）的極小值點，∴f′（2）=0，即a+

b

2

=0①，
又f（2）=2-2ln2，即2a+bln2=2-2ln2②，
聯(lián)立①②解得a=1，b=-2；
（2）由（1）知f（x）=x-2lnx，
則g（x）=x²+mx-f（x）=g（x）=x²+（m-1）x+2lnx，
g′（x）=2x+m-1+

2

x

，
∵g（x）=x²+mx-f（x）在定義域內是單調遞增函數，
∴g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即m≥-2x-

2

x

+1恒成立，
令y=-2x-

2

x

+1，則y′=-2+

2

x2

=

2(1+x)(1-x)

x2

，
當0＜x＜1時，y′＞0，y遞增；當x＞1時，y′＜0，y遞減．
所以y_max=-2-2+1=-3，
∴m≥-3．

點評：該題考查利用導數研究函數的單調性、極值，考查函數恒成立，考查轉化思想，恒成立問題往往轉化為求函數最值解決．