設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=
x2
2
+
a
x
-1
,x∈[
2
,2].
(1)若a=1,求函數(shù)f(x)的值域;
(2)記函數(shù)f(x)的最小值為g(a),求g(a).
分析:(1)求導(dǎo)函數(shù),確定f(x)在[
2
,2]上是增函數(shù),即可求函數(shù)f(x)的值域;
(2)分類討論,確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求函數(shù)f(x)的最小值g(a).
解答:解:(1)a=1,求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=
x3-1
x2

∵x∈[
2
,2],
∴f(x)在[
2
,2]上是增函數(shù),
∴f(x)的值域?yàn)閇
2
2
,
3
2
];
(2)f′(x)=
x3-a
x2
,x∈[
2
,2],
a≤2
2
時(shí),x3-a≥0,f′(x)≥0,∴f(x)在[
2
,2]上是增函數(shù),
g(a)=f(
2
)=
2
a
2
;
②當(dāng)2
2
<a<8
時(shí),函數(shù)在[
2
,
3a
]上,f′(x)<0,∴f(x)在[
2
3a
]上是減函數(shù),在[
3a
,2
]上,f′(x)>0,∴f(x)在[
3a
,2
]上是增函數(shù),
∴g(a)=f(
3a
)
=
3
3a2
2
-1

③當(dāng)a≥8時(shí),f′(x)≤0,∴f(x)在[
2
,2
]上是減函數(shù),∴g(a)=f(2)=
2+a
2

∴g(a)=
2
2
a,a≤2
2
3
3a2
2
-1,2
2
<a<8
2+a
2
,a≥8
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)單調(diào)單調(diào)性與最值,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x3-ax2+(a2-1)x在(-∞,0)和(1,+∞)都是增函數(shù),求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x2-|x-a|+1,x∈R.
(1)若f(x)是偶函數(shù),試求a的值;
(2)在(1)的條件下,求f(x)的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=2x2+(x-a)|x-a|
(1)求f(a+1);
(2)若a=3,用分段函數(shù)的形式表示f(x),并求出f(x)的最小值;
(3)求f(x)的最小值g(a).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=ex-2x+2a,x∈R.求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a-2)x的導(dǎo)函數(shù)是f'(x)是偶函數(shù),則曲線y=f(x)在原點(diǎn)處的切線方程為
y=-2x
y=-2x

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案