Question

8．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB、AD、AP互相垂直，AD=2BC，過BC的平面分別交PA、PD于M、N兩點(diǎn)（M不與A重合）．
（1）求證：MN∥平面ABCD
（2）已知BC=2，AB=3，PA=6，E、M分別為BC、PA的中點(diǎn)，求異面直線DE和CN所成的角的大�。�

Answer 1

分析 （1）由梯形性質(zhì)得BC∥AD，從而BC∥平面PAD，進(jìn)而得到BC∥MN，由此能證明MN∥平面ABCD．
（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線DE和CN所成的角的大小．

解答 （1）證明：∵底面ABCD為直角梯形，AB、AD、AP互相垂直，∴BC∥AD，
∵BC?平面PAD，AD?平面PAD，∴BC∥平面PAD，
∵過BC的平面分別交PA、PD于M、N兩點(diǎn)（M不與A重合），
∴BC與MN共面，且MN?平面PAD，∴BC∥MN，
∵BC?平面ABCD，MN?平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD．
（2）解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得D（0，4，0），E（3，1，0），C（3，2，0），P（0，0，6），N（0，2，3），
$\overrightarrow{DE}$=（3，-3，0），$\overrightarrow{CN}$=（-3，0，3），
設(shè)異面直線DE和CN所成的角的大小為θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{CN}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CN}}{|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{CN}|}$|=|$\frac{-9}{\sqrt{18}•\sqrt{18}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴$θ=\frac{π}{3}$．
∴異面直線DE和CN所成的角的大小為$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．