Question

12．某班元旦聯(lián)歡會舉行抽獎活動，現(xiàn)有六張分別標有1，2，3，4，5，6六個數(shù)字的形狀相同的卡片，其中標有偶數(shù)數(shù)字的卡片是有獎卡片，且獎品個數(shù)與卡片上所標數(shù)字相同，抽獎規(guī)則如下：每人每次抽取的兩張卡片．
（1）若甲、乙兩位同學抽獎相互獨立，求甲、乙兩位同學所得獎品個數(shù)都不少于4的概率；
（2）記甲同學所得獎品個數(shù)為隨機變量X，求X分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）甲、乙兩位同學所得獎品個數(shù)都不少于4，是指甲、乙兩位同學抽取的兩張卡片都是偶數(shù)或一張是奇數(shù)另一張是4或6，由此能求出甲、乙兩位同學所得獎品個數(shù)都不少于4的概率．
（2）X的可能取值是：0，2，4，6，8，10．分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（1）∵甲、乙兩位同學所得獎品個數(shù)都不少于4，
∴由已知得甲、乙兩位同學抽取的兩張卡片都是偶數(shù)或一張是奇數(shù)另一張是4或6，
∴甲、乙兩位同學所得獎品個數(shù)都不少于4的概率：
P=$\frac{{C}_{3}^{2}+{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$•$\frac{{C}_{3}^{2}+{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{9}{25}$．
（2）X的可能取值是：0，2，4，6，8，10．
①兩次取得都是奇數(shù)，則P（X=0）=$\frac{{A}_{3}^{2}}{{A}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
②兩次中有一次取得是2，而另一次是奇數(shù)，P（X=2）=$\frac{2{A}_{1}^{1}{A}_{3}^{1}}{{A}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
③兩次中有一次取得是4，而另一次是奇數(shù)，P（X=4）=$\frac{2{A}_{1}^{1}{A}_{3}^{1}}{{A}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
④兩次取得是2和4，或一次取得是6而另一次取得是奇數(shù)，P（X=6）=$\frac{{A}_{2}^{2}+2{A}_{1}^{1}{A}_{3}^{1}}{{A}_{6}^{2}}$=$\frac{4}{15}$，
⑤兩次取得是2和6，P（X=8）=$\frac{{A}_{2}^{2}}{{A}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
⑥兩次取得是4和6，P（X=10）=$\frac{{A}_{2}^{2}}{{A}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$．
∴X的分布列如下：

X	0	2	4	6	8	10
p	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{1}{15}$	$\frac{1}{15}$

∴EX=$0×\frac{1}{5}+2×\frac{1}{5}+4×\frac{1}{5}+6×\frac{4}{15}+8×\frac{1}{15}$+$10×\frac{1}{15}$=4．

點評 熟練掌握古典概型的意義及概率計算公式、分類討論的思想方法、隨機變量的分布列和數(shù)學期望是解題的關鍵．