Question

5．若實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{x+y-4≤0}\\{x≥0}\end{array}\right.$，則|3x+y-4|+|x+2y+8|的最小值是（　�。�

• A． 11
• B． 12
• C． 16
• D． 18

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則由圖象知，x≥0，y≥0，則|x+2y+8|=x+2y+8，
設(shè)z=|3x+y-4|+|x+2y+8|，
則z=|3x+y-4|+x+2y+8，
若3x+y-4≥0，則不等式對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)椤鰽CB，
此時(shí)z=3x+y-4+x+2y+8=4x+3y+4，
即y=$-\frac{4}{3}$x+$\frac{z-4}{3}$，平移直線y=$-\frac{4}{3}$x+$\frac{z-4}{3}$由圖象知當(dāng)直線y=$-\frac{4}{3}$x+$\frac{z-4}{3}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，直線y=$-\frac{4}{3}$x+$\frac{z-4}{3}$的截距最小，此時(shí)z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-4=0}\\{x-y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（1，1），此時(shí)z=4+3+4=11，
若3x+y-4≤0，則不等式對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)椤鱋AC，
此時(shí)z=-（3x+y-4）+x+2y+8=-2x+y+12，
即y=2x+z-12，平移直線y=2x+z-12，由圖象知當(dāng)直線y=2x+z-12，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，直線y=2x+z-12的截距最小，此時(shí)z最小，
此時(shí)z=-2+1+12=11，
綜上|3x+y-4|+|x+2y+8|的最小值是11．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．