Question

2．已知數(shù)列{an}滿足a₁=3，a_n+a_n+2=2a_n+1，其前n項和記為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項均為正數(shù)，b₂=3，公比為q，且b₃+S₃=27，b₃=a₃
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=b_n+$\frac{1}{{S}_{n}}$，求{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過a₁=3、a_n+a_n+2=2a_n+1可得數(shù)列{an}為等差數(shù)列，利用b₃+S₃=27、b₃=a₃，直接計算即可；
（2）通過S_n=$\frac{n（3+3n）}{2}$，分離分母、并項相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a₁=3，a_n+a_n+2=2a_n+1，
∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列，
設(shè)其公差為d，則a₃=3+2d，S₃=3a₁+3d=9+3d，
∵等比數(shù)列{b_n}的各項均為正數(shù)，b₂=3，公比為q，
∴b₃=b₂q=3q，
又∵b₃+S₃=27，b₃=a₃，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3q+9+3d=27}\\{3q=3+2d}\end{array}\right.$，
∴d=3，q=3，
∴數(shù)列{a_n}的通項a_n=a₁+（n-1）d=3+3（n-1）=3n，
數(shù)列{b_n}的通項b_n=$_{1}{q}^{n-1}$=$\frac{_{2}}{q}•{q}^{n-1}$=3^n-1；
（2）∵S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=$\frac{n（3+3n）}{2}$，
∴c_n=b_n+$\frac{1}{{S}_{n}}$=3^n-1+$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{n（n+1）}$=3^n-1+$\frac{2}{3}$•（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$+$\frac{2}{3}$•（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{2}$•3ⁿ+$\frac{1}{6}$-$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{n+1}$．

點評 本題考查求數(shù)列的通項及求和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．