Question

已知橢圓C的長軸長為，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓的右頂點(diǎn)．
①若直線l斜率k=1，求△ABP的面積；
②若直線AP，BP的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁•k₂為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且c=1，，結(jié)合b²=a²-c²=可求b，進(jìn)而可求橢圓的方程
（2）①當(dāng)k=1時(shí)，直線AB的方程為y=x，聯(lián)立直線方程與橢圓的方程可求A，B，由橢圓的性質(zhì)可求P，而（d為P到直線y=x的距離）可求
②證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．，聯(lián)立方程，消y整理得 （2k²+1）x²=2，可求A，B的坐標(biāo)，代入斜率公式可得，可證
解答：解：（1）依題意橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且c=1，，…（1分）
∴，b²=a²-c²=1．                                     …（2分）
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．                                   …（4分）
（2）①…（5分）
∴或 ，…（7分）
即，，．
所以．                                     …（9分）
②證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
橢圓的右頂點(diǎn)為
聯(lián)立方程，消y整理得 （2k²+1）x²=2，
不妨設(shè)x₁＞0＞x₂，
∴，；，．…（12分）…（13分）==
∴k_AP•k_BP為定值．                             …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了由橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交關(guān)系的應(yīng)用，由兩點(diǎn)確定直線的斜率公式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的綜合應(yīng)用．