Question

4．已知點P是⊙O：x²+y²=9上的任意一點，過P作PD垂直x軸于D，動點Q滿足$\overrightarrow{DQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DP}$．
（Ⅰ）求動點Q的軌跡方程；
（Ⅱ）動點Q的軌跡上存在兩點M、N，關(guān)于點E（1，1）對稱，求直線MN的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)Q（x，y），利用向量的坐標運算，結(jié)合在⊙O上即可得到點Q的軌跡方程；
（2）對于存在性問題的解決方法，可假設(shè)存在．由條件（1，1）是線段MN的中點，利用中點坐標公式及橢圓的方程式，得到直線MN的斜率值，從而求得直線的方程．結(jié)果表明存在．

解答 解：（1）設(shè)P（x₀，y₀），Q（x，y），依題意，則點D的坐標為D（x₀，0）（1分）
∴$\overrightarrow{DQ}$=（x-x₀，y），$\overrightarrow{DP}$=（0，y₀）（2分）
又$\overrightarrow{DQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DP}$，
∴x₀=x，y₀=$\frac{3}{2}$y（4分）
∵P在⊙O上，故x₀²+y₀²=9，
∴$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$（5分）
∴點Q的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$（6分）
（2）假設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$上存在兩點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），關(guān)于點E（1，1）對稱，則E（1，1）是線段MN的中點，且有x₁+x₂=2，y₁+y₂=2
M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）代入橢圓，作差，整理可得k_MN=-$\frac{4}{9}$
∴直線MN的方程為4x+9y-13=0
將直線MN的方程代入橢圓方程檢驗得：52x²-104x-155=0則△＞0有實根
∴橢圓上存在兩點M、N，關(guān)于點E（1，1）對稱，此時直線MN的方程為4x+9y-13=0（14分）

點評 本題在向量與圓錐曲線交匯處命題，考查了向量的坐標運算、曲線方程的求法、橢圓的定義以及等價轉(zhuǎn)化能力．