Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{x}{x+1}，-1＜x≤0}\\{x，0＜x≤1}\end{array}\right.$與函數(shù)g（x）=a（x+1）在（-1，1]上有2個(gè)交點(diǎn)，若方程x-$\frac{1}{x}$=5a的解為正整數(shù)，則滿足條件的實(shí)數(shù)a有（　　）

• A． 0個(gè)
• B． 1個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 3個(gè)

Answer 1

分析 作圖可得a的取值范圍為（0，$\frac{1}{2}$]，x-$\frac{1}{x}$=5a可得x²-5ax-1=0，設(shè)h（x）=x²-5ax-1，逐個(gè)驗(yàn)證可得．

解答 解：在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）與g（x）的圖象，
結(jié)合圖象可知實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，$\frac{1}{2}$]，
由x-$\frac{1}{x}$=5a可得x²-5ax-1=0，設(shè)h（x）=x²-5ax-1，
當(dāng)x=1時(shí)，由h（1）=1-5a-1=0可得a=0，不滿足題意；
當(dāng)x=2時(shí)，由h（2）=4-5a-1=0可得a=$\frac{3}{10}$≤$\frac{1}{2}$，滿足題意；
當(dāng)x=3時(shí)，由h（3）=9-5a-1=0可得a=$\frac{8}{15}$＞$\frac{1}{2}$，不滿足題意；
又函數(shù)y=x-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）單調(diào)遞增，故滿足題意的a只有1個(gè)，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．