在底面邊長為a，側(cè)棱長為2a的正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，中，求：

(1)點B到平面AB1C的距離；

(2)以B1C為棱，AB1C和BB1C為面所成二面角的正切值．

 

答案：
解析：

解：(1)如圖，設(shè)點E為AC的中點，作BO⊥B1E于O，

∵AC⊥BE，BB1⊥平面ABCD．

∴AC⊥平面BB1E．又BO面BB1E，

∴AC⊥BO．B1E∩AC=E，

∴BO⊥平面AB1C，

∴BO為B到平面AB1C的距離．

在Rt△B1BE中，BE=a，BB1=2a，

∴B1E=．

由面積關(guān)系得BO=．

(2)由BO⊥平面AB1C，AF⊥B1C，

∴BF⊥B1C，

∴∠BFA是二面角A—B1C—B的平面角．

在Rt△BB1C中，BF·B1C=BB1·BC．

∴BF=a．

∴tanBFA=AB∶BF=．

點評：(2)中作二面角用的方法是較常用的方法，這種方法的步驟是：過二面角的一個面內(nèi)的一點(本例中的點B)向另一個半平面作垂線，再過垂足(本例中的點O)向棱(本例中的B1C)作垂線(本例中的OF)，再連結(jié)BF，則由三垂線定理知∠BFO為二面角A—B1C—B的平面角．

 


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正四棱錐PQ∥平面SAD，S-ABCD的底面邊長為a，側(cè)棱長為2a，點P，Q分別在BD和SC上，并且BP：PD=1：2，PQ∥平面SAD，求線段PQ的長．

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選做題：（甲、乙兩題任選一題作答）
甲、如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a，側(cè)棱長為
2
a．
（Ⅰ）建立適當?shù)淖鴺讼�，并寫出點A、B、A1、C1的坐標；
（Ⅱ）求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角

乙、如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=a(0＜a＜
2
)．
（Ⅰ）求MN的長；
（Ⅱ）當a為何值時，MN的長最小；
（Ⅲ）當MN長最小時，求面MNA與面MNB所成的二面角α的大�。�
精英家教網(wǎng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長為a，側(cè)棱長為
2
2
a，D是棱A1C1的中點．
（Ⅰ）求證：BC1∥平面AB1D；
（Ⅱ）求二面角A1-AB1-D的大小；
（Ⅲ）求點C1到平面AB1D的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：044

在底面邊長為a，側(cè)棱長為2a的正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，中，求：

(1)點B到平面AB1C的距離；

(2)以B1C為棱，AB1C和BB1C為面所成二面角的正切值．

 

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