Question

16．已知橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）離心率e=$\frac{1}{2}$，點(diǎn)P（2，3）在橢圓上
（Ⅰ）求橢圓C的方程
（Ⅱ）求過點(diǎn)P的橢圓C的切線方程
（Ⅲ）若從橢圓一個焦點(diǎn)發(fā)出的光線照到點(diǎn)P被橢圓反射，證明：反射光線經(jīng)過另一個焦點(diǎn)．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得即可得出；
（Ⅱ）設(shè)切線l的斜率為k，可得l：y=kx-2k+3，與橢圓方程聯(lián)立化為：（3+4k²）x²-8（2k-3）kx+16k²-48k-12=0，利用△=0，解出即可．
（Ⅲ）設(shè)橢圓左右焦點(diǎn)分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），由過點(diǎn)P的橢圓切線方程可得：過點(diǎn)P的橢圓法線方程為m：2x-y-1=0，法線的方向向量$\overrightarrow{m}$=（-1，-2），只要證明$cos＜\overrightarrow{P{F}_{1}}，\overrightarrow{m}＞$=$cos＜\overrightarrow{P{F}_{2}}，\overrightarrow{m}＞$可得：直線PF₁，F(xiàn)₂P關(guān)于直線m對稱，即可證明結(jié)論．

解答 （I）解：由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=16，b²=12，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；

（Ⅱ）解：設(shè)切線l的斜率為k，∴l(xiāng)：y=kx-2k+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\\{y=kx-2k+3}\end{array}\right.$得：（3+4k²）x²-8（2k-3）kx+16k²-48k-12=0，
由△=64k²（2k-3）²-4（3+4k²）（16k²+48k-12）=0，
化為：4k²+4k+1=0，
解得k=-$\frac{1}{2}$．
∴求過點(diǎn)P的橢圓切線方程為x+2y-8=0．
（Ⅲ）證明：∵橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，
設(shè)橢圓左右焦點(diǎn)分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
∵過點(diǎn)P的橢圓切線方程為x+2y-8=0，
∴過點(diǎn)P的橢圓法線方程為m：2x-y-1=0，
法線的方向向量$\overrightarrow{m}$=（-1，-2），
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-4，-3），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（0，-3），
∴$cos＜\overrightarrow{P{F}_{1}}，\overrightarrow{m}＞$=$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}||\overrightarrow{m}|}$=-$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
$cos＜\overrightarrow{P{F}_{2}}，\overrightarrow{m}＞$=$\frac{\overrightarrow{P{F}_{2}}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{P{F}_{2}}||\overrightarrow{m}|}$=$-\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴直線PF₁，F(xiàn)₂P關(guān)于直線m對稱；
∴從橢圓一個焦點(diǎn)發(fā)出的光線照到點(diǎn)P，被橢圓反射后，反射光線一定經(jīng)過另一個焦點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相切的性質(zhì)、橢圓的光學(xué)性質(zhì)、向量夾角公式、直線對稱問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．