Question

（2009•上海模擬）如圖，A是棱長(zhǎng)為a的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，過(guò)從此頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的中點(diǎn)作截面，對(duì)正方體的所有頂點(diǎn)都如此操作，所得的各截面與正方體各面共同圍成一個(gè)多面體，則關(guān)于此多面體有以下結(jié)論：①有12個(gè)頂點(diǎn)；②有24條棱；③有12個(gè)面；④表面積為3a²；⑤體積為

5

6

a³．其中正確的結(jié)論是

①②⑤

．（要求填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析：先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖，原來(lái)的六個(gè)面還在只不過(guò)是變成了一個(gè)小正方形，再添了八個(gè)頂點(diǎn)各對(duì)應(yīng)的一個(gè)三角形的面，計(jì)算或數(shù)一數(shù)它的面數(shù)等，再結(jié)合割補(bǔ)法求出它的表面積及體積即可．

解答：解：如圖，
原來(lái)的六個(gè)面還在只不過(guò)是變成了一個(gè)小正方形，再添了八個(gè)頂點(diǎn)各對(duì)應(yīng)的一個(gè)三角形的面，所以總計(jì)6+8=14個(gè)面，故③錯(cuò)；
每個(gè)正方形4條邊，每個(gè)三角形3條邊，4×6+3×8=48，考慮到每條邊對(duì)應(yīng)兩個(gè)面，所以實(shí)際只有

1

2

×48=24條棱．②正確；
所有的頂點(diǎn)都出現(xiàn)在原來(lái)正方體的棱的中點(diǎn)位置，
原來(lái)的棱的數(shù)目是12，所以現(xiàn)在的頂點(diǎn)的數(shù)目是12．
或者從圖片上可以看出每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)4條棱，每條棱很明顯對(duì)應(yīng)兩個(gè)頂點(diǎn)，所以頂點(diǎn)數(shù)是棱數(shù)的一半即12個(gè)．①正確；
三角形和四邊形的邊長(zhǎng)都是

2

2

a，所以正方形總面積為6×

1

2

a²=3a²，三角形總面積為8×

1

2

×

1

2

a²sin60°=

3

a²，
表面積（3+

3

）a²，故④錯(cuò)；
體積為原正方形體積減去8個(gè)三棱錐體積，每個(gè)三棱錐體積為8×

1

6

（

a

2

）³=

1

6

a²，剩余總體積為a³-

1

6

a³=

5

6

a³．⑤正確．
故答案為：①②⑤．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征、多面體的表面積與體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查空間想象能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．