Question

【題目】在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面， 分別是的中點(diǎn)， ， .

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析（Ⅱ）（Ⅲ）在存在一點(diǎn)，使得平面平面，且.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)中位線定理得， ，所以為平行四邊形，進(jìn)而可證平面；

（Ⅱ）建立直角坐標(biāo)系， ，求解平面的法向量為，設(shè)與平面所成角為，利用求解即可；

（Ⅲ）設(shè)上存在一點(diǎn)，則，令，求解即可.

試題解析：

（Ⅰ）證明：取中點(diǎn)，連接.

因?yàn)?/span>分別是的中點(diǎn)，

所以，且.

因?yàn)?/span>是矩形， 是中點(diǎn)，

所以， .

所以為平行四邊形.

所以.

又因?yàn)?/span>平面， 平面，

所以平面.

（Ⅱ）因?yàn)?/span>平面，

所以， .

因?yàn)樗倪呅?/span>是矩形，所以.

如圖建立直角坐標(biāo)系，

所以， ， ，

所以， .

設(shè)平面的法向量為，

因?yàn)?/span>，所以.

令，所以，所以.

又因?yàn)?/span>，

設(shè)與平面所成角為，

所以 .

所以與平面所成角的正弦值為.

（Ⅲ）因?yàn)閭?cè)棱底面，

所以只要在上找到一點(diǎn)，使得，

即可證明平面平面.

設(shè)上存在一點(diǎn)，則，

所以.

因?yàn)?/span>，

所以令，即，所以.

所以在存在一點(diǎn)，使得平面平面，且.