Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若存在、滿足.求證： （其中為的導(dǎo)函數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）f′（x）=，（x＞0）．對(duì)a分類討論：a≤0，a＞0，即可得出單調(diào)性；（2）不妨設(shè)，于是 ，可得．當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，

故只要證即可，即證明 ，即證．設(shè)．令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可證明結(jié)論．

試題解析：

（1）由題知 .

當(dāng)，此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

當(dāng)，此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞增.

（2）因?yàn)?/span>，由（1）知

不妨設(shè)，由得，

即，

所以.

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，

故只要證，又，只要證

即證明 ，

即證，

也就是證.

設(shè).令，則.

因?yàn)?/span>，所以，所以在上是增函數(shù).

又，所以當(dāng)， 總成立，

原題得證.