Question

在平面直角坐標系中，第一象限有系列圓O_n（n∈N^*），所有圓均與x軸和直線

3

x-y=0相切，且任何相鄰兩圓外切：圓O_n的半徑為r_n，其中r_n＞r_n+1＞0，若圓O₁的半徑為r₁=1，則r_n等于

 

．

Answer 1

考點：圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：由題意畫出圖形，利用三角形相似對應邊成比例得到r_n與r_n+1的關系，進一步得到數(shù)列{r_n}構成以1為首項，以

1

3

為公比的等比數(shù)列，則r_n可求．

解答： 解：如圖，

由相似三角形對應邊成比例得，

rn

rn+1

=

2rn

rn-rn+1

，即3r_n+1=r_n，
∵r₁=1≠0，
∴

rn+1

rn

=

1

3

，
則數(shù)列{r_n}構成以1為首項，以

1

3

為公比的等比數(shù)列．
∴rn=(

1

3

)n-1．
故答案為：(

1

3

)n-1（n∈N^*）．

點評：本題考查了圓的切線方程，考查了等比數(shù)列的通項公式，體現(xiàn)了數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．