Question

16．在Rt△ABC中，∠A=90°，點D是邊BC上的動點，且|$\overrightarrow{AB}$|=3，|$\overrightarrow{AC}$|=4，$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（λ＞0，μ＞0），則當λμ取得最大值時，|$\overrightarrow{AD}$|的值為（　�。�

• A． $\frac{7}{2}$
• B． 3
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\frac{12}{5}$

Answer 1

分析 根據條件建立坐標系，利用基本不等式的性質進行求解即可．

解答 解：將三角形放入坐標系中，
則C（0，4），B（3，0），
∵$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（λ＞0，μ＞0），
∴λ+μ=1，
則1=λ+μ≥2$\sqrt{λμ}$，即λμ≤$\frac{1}{4}$，當且僅當λ=μ=$\frac{1}{2}$時取等號，
此時$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$（3，0）+$\frac{1}{2}$（0，4）=（$\frac{3}{2}$，2）
則|$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
故選：C

點評 本題主要考查平面向量的應用，根據條件建立坐標系，利用坐標法是解決本題的關鍵．