Question

6．已知函數(shù)$f（x）=x\sqrt{{x^2}-2ax+{a^2}}-1，（a∈R）$
（1）當(dāng)a=1時，解不等式f（x）＜x-1；
（2）當(dāng)a＞0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若在區(qū)間（0，1]上，函數(shù)f（x）的圖象總在直線y=m（m∈R，m是常數(shù)）的下方，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）討論x＞0，x＜0，去絕對值，運用絕對值不等式的解集即可得到所求；
（2）通過討論x的范圍，去絕對值，再由二次函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可得到所求單調(diào)區(qū)間；
（3）運用不等式恒成立思想，在區(qū)間（0，1]上，函數(shù)f（x）的圖象總在直線y=m（m∈R，m是常數(shù)）的下方，即對?x∈（0，1]都有f（x）＜m，?對?x∈（0，1]都有x|x-a|＜m+1，顯然m＞-1，運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求得最值，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，不等式f（x）＜x-1即x|x-1|＜x，
顯然x≠0，當(dāng)x＞0時，原不等式可化為：|x-1|＜1⇒-1＜x-1＜1⇒0＜x＜2；
當(dāng)x＜0時，原不等式可化為：|x-1|＞1⇒x-1＞1或x-1＜-1⇒x＞2或x＜0，即為x＜0．
綜上得：當(dāng)a=1時，原不等式的解集為{x|0＜x＜2或x＜0}；
（2）∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-ax-1，（x≥a）\\-{x^2}+ax-1．（x＜a）\end{array}\right.$，
若x≥a時，∵a＞0，由f'（x）=2x-a知，在（a，+∞）上，f′（x）≥0，
若x＜a，由f′（x）=-2x+a知，當(dāng)$x＜\frac{a}{2}$時，f′（x）＞0，
當(dāng)$\frac{a}{2}＜x＜a$時，f′（x）＜0，
∴當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$（-∞，\frac{a}{2}）$，（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為$（\frac{a}{2}，a）$．
（3）在區(qū)間（0，1]上，函數(shù)f（x）的圖象總在直線y=m（m∈R，m是常數(shù)）的下方，
即對?x∈（0，1]都有f（x）＜m，?對?x∈（0，1]都有x|x-a|＜m+1，顯然m＞-1，
即-m-1＜x（x-a）＜m+1⇒對?x∈（0，1]，
$-\frac{m+1}{x}＜x-a＜\frac{m+1}{x}$恒成立⇒對?x∈（0，1]，$x-\frac{m+1}{x}＜a＜x+\frac{m+1}{x}$，
設(shè)$g（x）=x-\frac{m+1}{x}，x∈（0，1]$，$p（x）=x+\frac{m+1}{x}$，x∈（0，1]，
則對?x∈（0，1]，$x-\frac{m+1}{x}＜a＜x+\frac{m+1}{x}$恒成立?g（x）_max＜a＜p（x）_min，x∈（0，1]，
∵$g'（x）=1+\frac{m+1}{x^2}$，當(dāng)x∈（0，1]時g'（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，∴g（x）_max=-m，
又∵$p'（x）=1-\frac{m+1}{x^2}$=$\frac{{（x-\sqrt{m+1}）（x+\sqrt{m+1}）}}{x^2}$，
當(dāng)$\sqrt{m+1}≥1$即m≥0時，對于x∈（0，1]，有p′（x）＜0，
∴函數(shù)p（x）在（0，1]上為減函數(shù)，
∴p（x）_min=p（1）=2+m，
當(dāng)$\sqrt{m+1}＜1$，即-1＜m＜0時，當(dāng)$x∈（0，\sqrt{m+1}]$，p′（x）≤0，
當(dāng)$x∈（\sqrt{m+1}，1]$，p′（x）＞0，
∴在（0，1]上，$p{（x）_{min}}=p（\sqrt{m+1}）=2\sqrt{m+1}$，
（或當(dāng)-1＜m＜0時，在（0，1]上，$p（x）=x+\frac{m+1}{x}$$≥2\sqrt{x•\frac{m+1}{x}}=2\sqrt{m+1}$，
當(dāng)$x=\sqrt{m+1}$時取等號），
又∵當(dāng)-1＜m＜0時，要g（x）_max＜a＜p（x）_min即
$-m＜a＜2\sqrt{m+1}$還需滿足$2\sqrt{m+1}＞-m$⇒m²-4m-4＜0，
解得$2-2\sqrt{2}＜m＜2+2\sqrt{2}$，
∴當(dāng)$2-2\sqrt{2}＜m＜0$時，$-m＜a＜2\sqrt{m+1}$，
當(dāng)m≥0時，-m＜a＜2+m．

點評 本題考查分段函數(shù)的運用，考查絕對值不等式的解法和函數(shù)的單調(diào)性的運用，同時考查不等式恒成立思想的運用，屬于中檔題．