Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+1，對于任意的實數x₁、x₂（x₁≠x₂），都有

f(x1)+f(x1)

2

＞f(

x1+x2

2

)成立，且f（x+2）為偶函數．
（1）求a的取值范圍；
（2）求函數y=f（x）在[a，a+2]上的值域；
（3）定義區(qū)間[m，n]的長度為n-m．是否存在常數a，使的函數y=f（x）在區(qū)間[a，3]的值域為D，且D的長度為10-a³．

Answer 1

分析：（1） 確定二次函數f（x）的對稱軸，找出 a、b的關系，由已知不等式得出a的范圍．
（2）區(qū)間[a，a+2]可能包含函數的對稱軸，也可能在對稱軸的右邊，二次函數f（x）圖象是開口向上的拋物線，當區(qū)間[a，a+2]包含對稱軸時，求函數值域需考慮對稱軸是靠近區(qū)間左端點，還是靠近區(qū)間右端點，從而確定函數值域．當區(qū)間[a，a+2]在對稱軸右邊時，函數在區(qū)間上是增函數，易求函數值域．
（3）當區(qū)間[a，3]包含對稱軸時，求函數值域需考慮對稱軸是靠近區(qū)間左端點，還是靠近區(qū)間右端點，從而確定函數值域．看滿足且D的長度為10-a³的a值是否存在．當區(qū)間[a，3]在對稱軸右邊時，函數在區(qū)間上是增函數，易求函數值域．再看滿足且D的長度為10-a³的a值是否存在．

解答：解：（1）由f（x+2）為偶函數可得f（x）=ax²+bx+1的圖象關于直線x=2對稱，
則-

b

2a

=2，b=-4a，f（x）=ax²-4ax+1；
對于任意的實數x₁、x₂（x₁≠x₂），都有

f(x1)+f(x1)

2

＞f(

x1+x2

2

)成立，則

f(x1)+f(x1)

2

-f(

x1+x2

2

)=

1

2

(ax12-4ax1+1+ax22-4ax2+1)-[a(

x1+x2

2

)2-4a

x1+x2

2

+1]=

1

2

a(x1-x2)2＞0，
因為x₁≠x₂，
所以（x₁-x₂）²＞0，
故a＞0．
（2）f（x）=ax²-4ax+1=a（x-2）²+1-4a，
因為a＞0，
所以a+2＞2．
當a+1≤2時，即0＜a≤1時，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=a³-4a²+1，
函數y=f（x）的值域為[1-4a，a³-4a²+1]；
當1＜a≤2時，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=a³-4a+1，
函數y=f（x）的值域為[1-4a，a³-4a+1]；
當a＞2時，f（x）_min=a³-4a²+1，f（x）_max=a³-4a+1，
函數y=f（x）的值域為[a³-4a²+1，a³-4a+1]．
（3）f（x）=ax²-4ax+1=a（x-2）²+1-4a，
當0＜a≤1時，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=a³-4a²+1，
f（x）_max-f（x）_min=a³-4a²+1-（1-4a）=a（a-2）²，
由0＜a≤1時，1≤（a-2）²＜4，則a（a-2）²＜4，而10-a³＞9，不合題意；
當1＜a＜2時，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=1-3a，
f（x）_max-f（x）_min=1-3a-（1-4a）=a，
由1＜a＜2，得10-a³＞2，所以a≠10-a³，不合題意；
當2≤a＜3時，f（x）_min=a³-4a²+1，f（x）_max=1-3a，f（x）_max-f（x）_min=1-3a-（a³-4a²+1）=10-a³，
故4a²-3a-10=0，（4a+5）（a-2）=0，
因為2≤a＜3，
所以a=2．
綜上所述：存在常數a=2符合題意．

點評：本題綜合考查函數的奇偶性、單調性、對稱性、值域、抽象函數等知識．注意分類討論的數學思想方法．