Question

已知函數(shù)f（x）當(dāng)x＞0時(shí)有意義，并且滿足下列條件：
①f（2）=1； ②f（x•y）=f（x）+f（y）； ③當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，
（Ⅰ） 求f（1）、f（

1

2

）的值；
（Ⅱ） 證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅲ）解不等式f（3）+f（4-8x）＞2．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）在②中令x=y=1，可由f（x•y）=f（x）+f（y），求出f（1）的值；
令x=

1

2

，y=2代入②，得f（1）=f（

1

2

）+f（2），即0=f（

1

2

）+1，從而可求f（

1

2

）；
（2）在①中令y=

1

x

，結(jié)合（1）中f（1）=0，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，分析f（x₂）-f（x₁）的符號(hào)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，可得答案．
（3）由f（2）=1，可得2=f（4），結(jié)合（2）中函數(shù)的單調(diào)性，可將不等式轉(zhuǎn)化為不等式組

4-8x＞0 3×(4-8x)＞4

，解得x的取值范圍．

解答： 解：（1）在②中令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），故 f（1）=0，
令x=

1

2

，y=2代入②，得f（1）=f（

1

2

）+f（2），即0=f（

1

2

）+1，∴f（

1

2

）=-1
（2）在②中令y=

1

x

，得f（1）=f（x）+f（

1

x

），∴0=f（x）+f（

1

x

），∴f（x）=-f（

1

x

），
函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞增，理由如下：
任取x₁，x₂，設(shè)x₂＞x₁＞0，
∴

x2

x1

＞1，
∵當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，∴f（

x2

x1

）＞0  
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（

1

x1

）=f（

x2

x1

）＞0  
f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
（3）由f（2）=1，得2f（2）=2=f（2）+f（2）=f（4），
∴f（3）+f（4-8x）＞2可化為f[3×（4-8x）]＞f（4），
∴

4-8x＞0 3×(4-8x)＞4

解得x＜

1

3

，
不等式的解集為（-∞，

1

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查抽象函數(shù)值的求法：賦值法，其中熟練掌握抽象函數(shù)的解答方法是解答的關(guān)鍵．