Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，A₁，A₂是橢圓E的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)（A₂位于A₁右側(cè)），B是橢圓在y軸正半軸上的頂點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓E的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是x軸上位于A₂右側(cè)的一點(diǎn)，且滿足

1

|A1M|

+

1

|A2M|

=

2

|FM|

=2．
（1）求橢圓E的方程以及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）是否存在經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，

2

)且斜率為k的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P和Q，使得向量

OP

+

OQ

與

A2B

共線？如果存在，求出直線l的方程，如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）設(shè)點(diǎn)F（c，0），M（x，0），x＞a，由已知得

1

x+a

+

1

x-a

=

2

x-c

，從而x=

a2

c

，再由

c

a

=

2

2

，能求出橢圓方程和M點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）由題意，直線l的方程為y=kx+

2

，聯(lián)立方程

y=kx+ 2 x2 2 +y2=1

，得(

1

2

+k2)x2+2

2

kx+1=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件推導(dǎo)出不存在符合題意的直線l．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)F（c，0），M（x，0），x＞a，
由

1

|A1M|

+

1

|A2M|

=

2

|FM|

=2，
得

1

x+a

+

1

x-a

=

2

x-c

，
解得x=

a2

c

，
又

c

a

=

2

2

，b²=a²-c²，
∴a=

2

，b=c=1，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1，
M點(diǎn)坐標(biāo)為M（2，0）．
（2）由題意，直線l的方程為y=kx+

2

，
聯(lián)立方程

y=kx+ 2 x2 2 +y2=1

，得(

1

2

+k2)x2+2

2

kx+1=0，
∵直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q，
∴△=8k2-4(

1

2

+k2)=4k2-2＞0，∴k²＞

1

2

，
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴

OP

+

OQ

=(x1+x2，y1+y2)，
x1+x2=-

4 2 k

1+2k2

，y1+y2=k(x1+x2)+2

2

=

2 2

1+2k2

，
∴

OP

+

OQ

=（-

4 2 k

1+2k

，

2 2

2k2

）=

2 2

1+2k2

(-2k，1)，
由題知A2(

2

，0)，B(0，1)，

A2B

=(-

2

，1)，
要使向量

OP

+

OQ

與

A2B

共線，
則2k=

2

，即k=

2

2

，但不滿足k2＞

1

2

，
故不存在符合題意的直線l．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓E的方程以及點(diǎn)M的坐標(biāo)的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．