Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦點(diǎn)恰好是拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是橢圓E的右頂點(diǎn)．過點(diǎn)A的直線l交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，滿足OM⊥ON，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過橢圓E的左頂點(diǎn)B作y軸平行線BQ，過點(diǎn)N作x軸平行線NQ，直線BQ與NQ相交于點(diǎn)Q．若△QMN是以MN為一條腰的等腰三角形，求直線MN的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而設(shè)直線l：x=a+my代入拋物線方程設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理可求得y₁+y₂和y₁y₂，進(jìn)而求得x₁x₂，進(jìn)而根據(jù)OM⊥ON得

OM

•

ON

進(jìn)而求得a和b，則橢圓方程可得．
（2）先看當(dāng)QM為等腰△QMN的底邊時，進(jìn)而推斷出O是線段MQ的中點(diǎn)，求得m；再看當(dāng)QN為等腰△QMN的底邊時，根據(jù)y₁y₂=-16，求得m，則直線方程可得．

解答：解：（1）F（1，0），∴a²-b²=1，A（a，0），
設(shè)直線l：x=a+my代入y²=4x中，
整理得y²-4my-4a=0．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則

y1+y2=4m y1y2=-4a

，
又∵?y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
∴?x1x2=

y 2 1 • y 2 2

16

=a2，
由OM⊥ON得

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=a2-4a=0，
解得a=4或a=0（舍），得b²=15
所以橢圓E的方程為

x2

16

+

y2

15

=1．
（2）橢圓E的左頂點(diǎn)B（-4，0），所以點(diǎn)Q（-4，y₂）．易證M，O，Q三點(diǎn)共線．
（I）當(dāng)QM為等腰△QMN的底邊時，由于ON⊥OM，∴O是線段MQ的中點(diǎn)，
∴

y 2 1 4 -4=0 y1+y2=0

，所以m=0，即直線MN的方程為x=4；
（II）當(dāng)QN為等腰△QMN的底邊時，

y 2 1

4

×2=

y 2 2

4

-4
又∵?y₁y₂=-16，
解得

y 2 1 =8 y 2 2 =32

，

y1=2 2 y2=-4 2

或

y1=-2 2 y2=4 2

∴?m=±

2

2

，
所以直線MN的方程為x=4±

2

2

y，即y=±

2

(x-4)；
綜上，當(dāng)△QMN為等腰三角形時，直線MN的方程為x=4或y=±

2

(x-4)．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的關(guān)鍵是充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，