Question

17．各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意正整數(shù)n，都有2S_n=b_n（b_n+1）．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）如果等比數(shù)列{a_n}共有m（m≥2，m∈N^*）項(xiàng)，其首項(xiàng)與公比均為2，在數(shù)列{a_n}的每相鄰兩項(xiàng)a_i與a_i+1之間插入i個(gè)（-1）ⁱb_i（i∈N^*）后，得到一個(gè)新的數(shù)列{c_n}．求數(shù)列{c_n}中所有項(xiàng)的和；
（3）如果存在n∈N^*，使不等式 b_n+$\frac{1}{b_n}≤（n+1）λ≤{b_{n+1}}+\frac{1}{{{b_{n+1}}}}$成立，求實(shí)數(shù)λ的范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時(shí)可得b₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，通過遞推關(guān)系可得b_n-b_n-1=1，從而數(shù)列{b_n}是首相與公差均為1等差數(shù)列，計(jì)算即可；
（2）通過${a_n}={2^n}$，分m=2k-1（k≥2，k∈N^*）與m=2k（k∈N^*）兩種情況討論即可；
（3）利用不等式的性質(zhì)，化簡(jiǎn)可得$\frac{{n+\frac{1}{n}}}{n+1}≤λ≤1+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}，n=1，2，3，…$，記${A_n}=\frac{{n+\frac{1}{n}}}{n+1}，{B_n}=1+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}，n=1，2，3，…$，只需求A_n的最大值、B_n的最小值即可．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，由2S₁=b₁（b₁+1）得b₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，由2S_n=b_n（b_n+1）及2S_n-1=b_n-1（b_n-1+1），
可得2b_n=2S_n-2S_n-1=b_n（b_n+1）-b_n-1（b_n-1+1），
即（b_n+b_n-1）（b_n-b_n-1）=b_n+b_n-1，
∵數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴b_n-b_n-1=1，
∴數(shù)列{b_n}是首相與公差均為1等差數(shù)列，
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=n；
（2）通過題意，易得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}={2^n}$，
當(dāng)m=2k-1（k≥2，k∈N^*）時(shí)，
數(shù)列{c_n}共有（2k-1）+1+2+…+（2k-2）=k（2k-1）項(xiàng)，
其所有項(xiàng)的和為${S_{k（2k-1）}}=（2+{2^2}+…+{2^{2k-1}}）+[-1+{2^2}-{3^2}+{4^2}-…-{（2k-3）^2}+{（2k-2）^2}]$
=2（2^2k-1-1）+[3+7+…+（4k-5）]
=2^2k-2+（2k-1）（k-1）
=$\frac{1}{2}m（m-1）+{2^{m+1}}-2$；
當(dāng)m=2k（k∈N^*）時(shí)，數(shù)列{c_n}共有2k+1+2+…+（2k-1）=k（2k+1）項(xiàng)，
其所有項(xiàng)的和為${S_{k（2k+1）}}={S_{k（2k-1）}}+{2^{2k}}-{（2k-1）^2}$
=2^2k-2+（2k-1）（k-1）+2^2k-（2k-1）²
=2^2k+1-k（2k-1）-2=$-\frac{1}{2}m（m-1）+{2^{m+1}}-2$；
（3）∵${b_n}+\frac{1}{b_n}≤（n+1）λ≤{b_{n+1}}+\frac{1}{{{b_{n+1}}}}$，
∴$\frac{{n+\frac{1}{n}}}{n+1}≤λ≤1+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}，n=1，2，3，…$
記${A_n}=\frac{{n+\frac{1}{n}}}{n+1}，{B_n}=1+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}，n=1，2，3，…$
由${A_n}-{A_{n+1}}=\frac{2-n}{n（n+1）（n+2）}$，${B_n}-{B_{n+1}}=\frac{2n+3}{{{{（n+1）}^2}{{（n+2）}^2}}}$，
得A₁＞A₂=A₃，A₃＜A₄＜A₅＜…，B₁＞B₂＞B₃＞…
∴實(shí)數(shù)λ的范圍為[A₂，B₁]，即$[{\frac{5}{6}，\frac{5}{4}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，考查遞推關(guān)系，考查分類討論法，考查不等式的性質(zhì)，注意解題方法的積累，屬于難題．