Question

已知在數(shù)列{a_n}中，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，a₁=1且4S_n=a_n•a_n+1+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=a_n•3^n-1，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析：（1）將已知的和與項的遞推關系中的n用n-1代替，仿寫出一個新的等式，兩個式子相減，利用等差數(shù)列的定義得到一個等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式求出通項．
（2）由于數(shù)列的通項是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的乘積構成的新數(shù)列，利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和．

解答：解：（1）∵4S_n=a_n•a_n+1+1    ①
∴4S_n-1=a_n-1a_n+1②
②-①得4a_n=a_n（a_n+1-a_n-1）
∵a_n≠0
∴a_n+1-a_n-1=4
∵a₁=1得a₂=3
∴奇數(shù)項成以4為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項成以4為公差的等差數(shù)列
∴an=

1+4( n+1 2 -1)=2n-1(n為奇數(shù)) 3+4( n 2 -1)=2n-1(n為偶數(shù))

∴a_n=2n-1
（2）∴b_n=（2n-1）•3^n-1
∴T_n=1×3⁰+3×3¹+5×3²+..+（2n-1）×3^n-1
3T_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-3）×3^n-1+（2n-1）×3ⁿ  
∴-2T_n=1×3⁰+2×3+2×3²+…+2×3^n-1-（2n-1）×3ⁿ
∴-2Tn=

2(1-3n)

1-3

-(2n-1)×3n-1
所以T_n=（n-1）3ⁿ+1

點評：已知數(shù)列的項與和的遞推關系求數(shù)列的通項時，一般通過仿寫構造一個新等式，兩個式子相減得到項的遞推關系，再據(jù)遞推關系的特點選擇合適的求通項方法；求數(shù)列的前n項和，關鍵是根據(jù)數(shù)列通項的特點選擇合適的求和方法．