Question

如圖，四棱錐P-ABCD，∠DAB=90°，BC⊥CD，∠CDB=30°，且PA=PB=PD=AB=AD=

2

．
（Ⅰ）求證：面PBD⊥面ABCD；
（Ⅱ）求平面PAB與平面PBC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取BD中點O，連PO、AO，證明PO⊥平面ABCD，即可證明面PBD⊥面ABCD；
（Ⅱ）建立坐標系，求出面PAB的法向量、面PBC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面PAB與平面PBC所成銳二面角的余弦值．

解答： （I）證明：取BD中點O，連PO、AO
由PB=PD=

2

，BD=2可知△DPB為等腰直角三角形，
則PO=AO=1，而PA=

2

，故PO⊥AO，-------（3分）
又PO⊥BD，則PO⊥平面ABCD，
故面PBD⊥面ABCD------------（6分）
（II）解：如圖，建立坐標系，則A（1，0，0），B（0，1，0），P（0，0，1），
∴

PA

=（1，0，-1），

PB

=（0，1，-1），設面PAB的法向量為

m

=（x，y，z），
則

x-z=0 y-z=0

，令z=1，則

m

=（1，1，1）-------（7分）
同理可得平面PBC的法向量為

n

=（-

3

3

，1，1）．--------（9分）
則

m

•

n

=2-

3

3

，∴cos＜

m

，

n

＞=

6 7 - 21

21

．
故平面PAB與平面PBC所成銳二面角的余弦值為

6 7 - 21

21

----（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，考查平面與平面所成銳二面角的余弦值，考查小時分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，難度中等．