Question

已知函數(shù)f（x）=a（2cos²

x

2

+

3

sinx）+b，
（1）當a=1時，求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當x∈[0，π]時，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,復合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）當a=1時，利用三角恒等變換，可得f（x）=2sin（x+

π

6

）+1+b，從而可求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由（1）知，f（x）=2asin（x+

π

6

）+a+b，當x∈[0，π]時，可求得sin（x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，通過對a＞0與a＜0的討論，利用f（x）的值域是[3，4]，可求a，b的值．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=1+cosx+

3

sinx+b=

3

sinx+cosx+b+1=2sin（x+

π

6

）+1+b…2分
T=2π…3分
由-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z得：2kπ-

2

3

π≤x≤

π

3

+2kπ，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

2

3

π，

π

3

+kπ]，k∈Z…6分
（2）f（x）=2asin（x+

π

6

）+a+b，
x∈[0，π]，x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin（x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]…8分
當a＞0時，f（x）∈[b，3a+b]，于是

b=3 3a+b=4

，解得

a= 1 3 b=3

…10分
當a＜0時，f（x）∈[3a+b，b]，同理可得

a=- 1 3 b=4

…12分

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，著重考查復合三角函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想與方程思想的綜合應用，屬于中檔題．