已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)都在圓x2+y2=1上．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若斜率為k的直線過點(diǎn)M（2，0），且與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．試探討k為何值時(shí)，三角形OAB為直角三角形．
（Ⅰ）因?yàn)榻裹c(diǎn)與短軸的端點(diǎn)都在圓x2+y2=1上，
∴c=1，b=1，
∴a2=b2+c2=1+1=2．
則橢圓方程為：
x2
2
+y2=1；
（Ⅱ）由已知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2）．
聯(lián)立
y=k(x-2)
x2
2
+y2=1
，得（1+k2）x2-8k2x+8k2-2=0．
由△=64k4-4（1+k2）（8k2-2）＞0，得k2＜
1
2
．
所以k∈(-
2
2
，
2
2
)．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．
則x1+x2=
8k2
1+k2
，x1x2=
8k2-2
1+k2
．
若O為直角頂點(diǎn)，則
OA
•
OB
=0，即x1x2+y1y2=0．
y1y2=k（x1-2）k（x2-2）．
所以上式可整理得：
8k2-2
1+2k2
+
4k2
1+2k2
=0．
解得k=±
5
5
．滿足k∈(-
2
2
，
2
2
)．
若A或B為直角頂點(diǎn)，不妨設(shè)A為直角頂點(diǎn)，
kOA=-
1
k
，則A滿足
y=-
1
k
x
y=k(x-2)
，解得
x=
2k2
k2+1
y=-
2k
k2+1

代入橢圓方程得k4+2k2-1=0．
解得k=±
2
-1
．滿足k∈(-
2
2
，
2
2
)．
綜上，k=±
5
5
或k=±
2
-1
時(shí)三角形OAB為直角三角形．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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