Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是{a_n}的前n項和，且

Sn

=

Sn-1

+1（n≥2）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=a_n+2^n-1，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由

Sn

=

Sn-1

+1（n≥2），S₁=a₁=1，可知：數(shù)列{

Sn

}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式可得

Sn

，即S_n，再利用遞推式即可得出a_n；
（2）b_n=a_n+2^n-1=（2n-1）+2^n-1，再利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵

Sn

=

Sn-1

+1（n≥2），S₁=a₁=1，
∴數(shù)列{

Sn

}是等差數(shù)列，
∴

Sn

=1+（n-1）×1=n，∴Sn=n2．
∴當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（2n-1）²=2n-1．
當(dāng)n=1時也成立，
∴a_n=2n-1．
（2）b_n=a_n+2^n-1=（2n-1）+2^n-1，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=n²+

2n-1

2-1

=n²+2ⁿ-1．

點評：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．