Question

（2011•徐州模擬）過(guò)點(diǎn)P（5，4）作直線l與圓O：x²+y²=25交于A，B兩點(diǎn)，若PA=2，則直線l的方程為

y=4或40x-9y-164=0

．

Answer 1

分析：分兩種情況考慮：當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，并由OQ為P縱坐標(biāo)，利用垂徑定理及勾股定理求出MN的長(zhǎng)，即為AB的長(zhǎng)；當(dāng)直線l斜率不為0時(shí)，設(shè)為k，表示出直線l方程，由AB長(zhǎng)求出AC長(zhǎng)，利用勾股定理求出OC的長(zhǎng)，即為圓心到直線l的距離d，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出此時(shí)直線l的方程，綜上，得到所有滿(mǎn)足題意直線l的方程．

解答：解：當(dāng)直線l斜率為0時(shí)，A與M重合，B與N重合，此時(shí)OQ=4，
由垂徑定理定理得到Q為MN中點(diǎn)，連接OM，
根據(jù)勾股定理得：QM=

OM2-OQ2

=3，
∴MN=2QM=6，
此時(shí)直線l方程為y=4，符合題意；
當(dāng)直線l斜率不為0時(shí)，設(shè)為k，直線l方程為y-4=k（x-5），即kx-y+4-5k=0，
由割線定理得到AB=MN=6，再由垂徑定理得到C為AB的中點(diǎn)，即AC=

1

2

AB=3，
過(guò)O作OC⊥AB，連接OA，
根據(jù)勾股定理得：OC=

OA2-AC2

=4，
∴圓心O到直線l的距離d=

|4-5k|

1+k2

=4，解得：k=0（舍去）或k=

40

9

，
則此時(shí)直線l的方程為

40

9

x-y+4-5×

40

9

=0，即40x-9y-164=0，
綜上，直線l的方程為y=4或40x-9y-164=0．
故答案為：y=4或40x-9y-164=0

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及直線的一般式方程，涉及的知識(shí)有：垂徑定理，勾股定理，點(diǎn)到直線的距離公式，直線的點(diǎn)斜式方程，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類(lèi)討論的思想，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．