Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=sinⁿωx+cosⁿωx（ω＞0，n∈N^*）的最小正周期為T(mén)．
（1）若n=1，f（1）=1，求T的最大值；
（2）若n=4，T=4，求f（1）的值．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)n=1，f（1）=1，化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，利用輔助角公式化簡(jiǎn)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，求出ω的最小值，利用函數(shù)的周期，求T的最大值；
（2）通過(guò)n=4，利用平方關(guān)系式二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，T=4，求出ω，然后求f（1）的值．

解答：解（1）當(dāng)n=1，f（1）=1時(shí)，sinω+cosω=1（ω＞0），
化簡(jiǎn)得sin(ω+

π

4

)=

2

2

，…2分
因?yàn)棣兀?，所以(ω+

π

4

)min=

3π

4

，即ωmin=

π

2

，
所以，T的最大值為8．…6分
（2）當(dāng)n=4時(shí)，f（x）=sin⁴ωx+cos⁴ωx
=（sin²ωx+cos²ωx）²-2sin²ωxcos²ωx
=1-2（sinωxcosωx）²
=1-

1

2

sin22ωx
=1-

1

2

(

1-cos4ωx

2

)
=

1

4

cos4ωx+

3

4

（ω＞0），…10分
因?yàn)?span id="vdl59t3" class="MathJye">T=

2π

4ω

=4，所以ω=

π

8

，…12分
此時(shí)，f(x)═

1

4

cos

πx

2

+

3

4

，所以f(1)=

3

4

．…14分

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，函數(shù)周期、二倍角等公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．