Question

5．計(jì)算根式$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}$的值．

Answer 1

分析 化簡可得$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}$=$\sqrt{2+\sqrt{2+\frac{\sqrt{2}}{2}（1+\sqrt{3}）}}$，從而結(jié)合tan60°=$\sqrt{3}$可化簡得原式=$\sqrt{2+\sqrt{2+2sin105°}}$，再由二倍角公式可得2+2sin105°=$\sqrt{2}$（sin$\frac{75°}{2}$+cos$\frac{75°}{2}$），從而連續(xù)應(yīng)用解得．

解答 解：$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}$
=$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$
=$\sqrt{2+\sqrt{2+\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}}$
=$\sqrt{2+\sqrt{2+\frac{\sqrt{2}}{2}（1+\sqrt{3}）}}$
=$\sqrt{2+\sqrt{2+\frac{\sqrt{2}}{2}（1+\frac{sin60°}{cos60°}）}}$
=$\sqrt{2+\sqrt{2+2sin105°}}$
=$\sqrt{2+\sqrt{2+2sin75°}}$
=$\sqrt{2+\sqrt{2}（sin\frac{75°}{2}+cos\frac{75°}{2}）}$
=$\sqrt{2+2sin\frac{165°}{2}}$
=$\sqrt{2（sin\frac{165°}{4}+cos\frac{165°}{4}）^{2}}$
=$\sqrt{2}$（sin$\frac{165°}{4}$+cos$\frac{165°}{4}$）
=2sin（$\frac{165°}{4}$+45°）
=2sin$\frac{345°}{4}$
=2sin（90°-$\frac{15°}{4}$）
=2cos$\frac{15°}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角恒等變換的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．