Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點A（-2，0），過右焦點F且垂直于長軸的弦長為3．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線y=kx+m（k＜0，m＞b＞0）與y軸交于點P，與x軸交于點Q，與橢圓C交于M，N兩點，若

1

|PM|

+

1

|PN|

=

3

|PQ|

．求證：直線y=kx+m過定點，并求出這個定點坐標．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由題意a=2，利用過右焦點F且垂直于長軸的弦長為3，求出b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線y=kx+m（k＜0，m＞0）與y軸交于點P（0，m），與x軸交于點Q（-

m

k

，0），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

1

|PM|

+

1

|PN|

=

3

|PQ|

，可得

x1+x2

x1x2

=-

3k

m

，y=kx+m代入橢圓方程可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，利用韋達定理，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：由題意a=2，設(shè)過右焦點F且垂直于長軸的弦為MN，將M（c，x_M）代入橢圓方程可得y_M=±

2b2

a

，
∴

2b2

a

=3，∴b²=3，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）證明：直線y=kx+m（k＜0，m＞0）與y軸交于點P（0，m），與x軸交于點Q（-

m

k

，0），
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
|PM|=

1+k2

x₁，|PN|=

1+k2

x₂，|PQ|=-

1+k2

•

m

k

，
∵

1

|PM|

+

1

|PN|

=

3

|PQ|

，
∴

1

x1

+

1

x2

=-3•

k

m

，
∴

x1+x2

x1x2

=-

3k

m

，
y=kx+m代入橢圓方程可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0
∴x₁+x₂=

-8km

4k2+3

，x₁x₂=

4m2-12

4k2+3

，
∴

-8km

4m2-12

=-

3k

m

，
∵m＞0，
∴m=3，
∴y=kx+m恒過點（0，3）．

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學生析解決問題的能力，有難度．