Question

函數(shù)f（x）=

ax2+1，x≥0 (a+2)eax，x＜0

為R的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（0，+∞）
• B、[-1，0）
• C、（-2，0）
• D、（-∞，-2）

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求f′（x），討論a的取值從而判斷函數(shù)f（x）在每段上的單調(diào)性，當在每段上都單調(diào)遞增時求得a＞0，這時需要求函數(shù)ax²+1在x=0時的取值大于等于（a+2）e^ax在x=0時的取值，這樣又會求得一個a的取值，和a＞0求交集即可；當在每段上都單調(diào)遞減時，求得-2＜a＜0，這時需要求函數(shù)ax²+1在x=0處的取值小于等于（a+2）e^ax在x=0處的取值，這樣又會求得一個a的取值，和-2＜a＜0求交集即可；最后對以上兩種情況下的a求并集即可．

解答： 解：f′（x）=

2ax x≥0 a(a+2)eax x＜0

；
∴（1）若a＞0，x≥0時，f′（x）≥0，即函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，且ax²+1≥1；要使f（x）在R上為單調(diào)函數(shù)，則x＜0時，a（a+2）＞0，
∵a＞0，∴解得a＞0，并且（a+2）e^ax＜a+2，
∴a+2≤1，解得a≤-1，不符合a＞0，
∴這種情況不存在；
（2）若a＜0，x≥0時，f′（x）≤0，即函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，且ax²+1≤1；要使f（x）在R上為單調(diào)函數(shù)，則x＜0時，a（a+2）＜0，解得-2＜a＜0，并且（a+2）e^ax＞a+2，
∴a+2≥1，解得a≥-1，∴-1≤a＜0；
綜上得a的取值范圍為[-1，0）．
故選：B．

點評：考查函數(shù)導數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)遞增，遞減函數(shù)的定義．