如圖,為圓的直徑,為垂直于的一條弦,垂足為,弦交于點(diǎn).

(Ⅰ)證明:四點(diǎn)共圓;
(Ⅱ)證明:.

(Ⅰ)證明過程詳見解析;(Ⅱ)證明過程詳見解析.

解析試題分析:本題考查四點(diǎn)共圓的判定和圓割線的性質(zhì).考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力.第一問是證明四點(diǎn)共圓,證明四點(diǎn)共圓的基本方法:1.從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓,然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上,若能證明這一點(diǎn),即可肯定這四點(diǎn)共圓.2.若能證明其頂角相等(同弧所對的圓周角相等),從而即可肯定這四點(diǎn)共圓.3.把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形,若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對角時(shí),即可肯定這四點(diǎn)共圓.4.把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段,若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等,即可肯定這四點(diǎn)共圓(相交弦定理的逆定理);或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段,若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積,即可肯定這四點(diǎn)也共圓.(割線定理的逆定理)5.證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等,從而確定它們共圓.既連成的四邊形三邊中垂線有交點(diǎn),即可肯定這四點(diǎn)共圓.上述五種基本方法中的每一種的根據(jù),就是產(chǎn)生四點(diǎn)共圓的一種原因,因此當(dāng)要求證四點(diǎn)共圓的問題時(shí),首先就要根據(jù)命題的條件,并結(jié)合圖形的特點(diǎn),在這五種基本方法中選擇一種證法,給予證明.第二問是等式的證明,這一問中遇到的圓割線的性質(zhì)(從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等)、相似三角形、勾股定理三式聯(lián)立,證明等式成立.
試題解析:(Ⅰ)連結(jié),則.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/91/f/aaw9l4.png" style="vertical-align:middle;" />,所以
所以,即四點(diǎn)共圓.                5分

(Ⅱ)連結(jié).由四點(diǎn)共圓,所以.在中,,所以.           10分
考點(diǎn):1.四點(diǎn)共圓的判斷;2.圓割線的性質(zhì).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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如圖,在?ABCD中,設(shè)E和F分別是邊BC和AD的中點(diǎn),BF和DE分別交AC于P、Q兩點(diǎn).

求證:AP=PQ=QC.

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如圖所示,已知與⊙相切,為切點(diǎn),為割線,弦相交于點(diǎn),上一點(diǎn),且.

(1)求證:
(2)求證:.

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如圖,在中,的角平分線,的外接圓交,.

(1)求證:;
(2)當(dāng)時(shí),求的長.

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如圖,是圓的半徑,且是半徑上一點(diǎn):延長交圓于點(diǎn),過作圓的切線交的延長線于點(diǎn).求證:.

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如圖,已知⊙O的半徑為1,MN是⊙O的直徑,過M點(diǎn)作⊙O的切線AM,C是AM的中點(diǎn),AN交⊙O于B點(diǎn),若四邊形BCON是平行四邊形;

(Ⅰ)求AM的長;
(Ⅱ)求sin∠ANC. 

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如圖,△內(nèi)接于⊙,,直線切⊙于點(diǎn),弦,相交于點(diǎn).

(Ⅰ)求證:△≌△;
(Ⅱ)若,求長.

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如圖,已知切⊙于點(diǎn)E,割線PBA交⊙于A、B兩點(diǎn),∠APE的平分線和AE、BE分別交于點(diǎn)C、D.

求證:
(Ⅰ);
(Ⅱ)

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如圖,AB、CD是⊙O的兩條平行切線,B、D為切點(diǎn),AC為⊙O的切線,切點(diǎn)為E.過A作AF⊥CD,F(xiàn)為垂足.

(1)求證:四邊形ABDF是矩形;
(2)若AB=4,CD=9,求⊙O的半徑.

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