記集合A={x|f(x)=x,x∈R},B={x|f(f(x))=x,x∈R}.
(Ⅰ)令函數(shù)f(x)=x2+bx+c
(1)若A≠∅,求證:B≠∅;
(2)若A=∅,判斷B是否也為空集;
(Ⅱ)(1)證明A⊆B;
(2)若f(x)為增函數(shù),研究集合A和B之間的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
分析:(I)(1)先確定方程,再結(jié)合根的判別式,可得結(jié)論;
(2)A=∅,方程無解,結(jié)合根的判別式,可得結(jié)論;
(II)(1)分類討論,利用集合包含關(guān)系的定義,可得結(jié)論;
(2)任取x0∈B,則f(f(x0))=x0,分類討論,可得x0=f(x0),即x0∈A,則B⊆A,從而可得結(jié)論.
解答:(Ⅰ)解:由f(x)=x2+bx+c得f(f(x))=f2(x)+bf(x)+c及c=f(x)-x2-bx
由f(f(x))=x得到f2(x)+bf(x)+c=x,即f2(x)+bf(x)+f(x)-x2-bx=x
整理得到f2(x)-x2+b(f(x)-x)+(f(x)-x)=0,即(f(x)-x)(f(x)+x+b+1)=0①
即f(x)-x=0或f(x)+x+b+1=0,
即x2+(b-1)x+c=0②或x2+(b+1)x+b+c+1=0③
方程②的判別式△=(b-1)2-4c
方程③的判別式1=(b+1)2-4b-4c-4=(b-1)2-4c-4=△-4
(1)若A≠?,即f(x)-x=0有解,即x2+(b-1)x+c=0有解,即△≥0,則①有解,即B≠?
(2)若A=?,即△<0,則△1<0,②和③均無解,則①無解,即B=?----------------(6分)
(Ⅱ)(1)證明:若A=?,則A⊆B
若A≠?,任取x0∈A,則f(x0)=x0,則f(f(x0))=f(x0)=x0
即x0∈B,即A⊆B--------------------------------------------(8分)
(2)解:任取x0∈B,則f(f(x0))=x0,
若x0>f(x0),因為函數(shù)f(x)為增函數(shù),則f(x0)>f(f(x0))=x0,產(chǎn)生矛盾;
若x0<f(x0),因為函數(shù)f(x)為增函數(shù),則f(x0)<f(f(x0))=x0,產(chǎn)生矛盾,
則x0=f(x0),即x0∈A,則B⊆A
再由(1)得A=B-------------------------------------(12分)
點評:本題考查集合的包含關(guān)系,考查學(xué)生分析解決問題的能力,考查分類討論的數(shù)字思想,屬于中檔題.
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已知函數(shù)f(x)=2x2-2ax+b,f(-1)=-8.對?x∈R,都有f(x)≥f(-1)成立;記集合A={x|f(x)>0},B={x||x-t|≤1}.
(I)當t=1時,求(CRA)∪B.
(II)設(shè)命題P:A∩B≠空集,若¬P為真命題,求實數(shù)t的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x),若f(x)=x,則稱x為f(x)的“不動點”;若f(f(x))=x,則稱x為f(x)的“穩(wěn)定點”.記集合A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x}
(1)已知A≠∅,若f(x)是在R上單調(diào)遞增函數(shù),是否有A=B?若是,請證明.
(2)記|M|表示集合M中元素的個數(shù),問:(i)若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若|A|=0,則|B|是否等于0?若是,請證明,(ii)若|B|=1,試問:|A|是否一定等于1?若是,請證明.

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(I)當t=1時,求(CRA)∪B.
(II)設(shè)命題P:A∩B≠空集,若¬P為真命題,求實數(shù)t的取值范圍.

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(I)當t=1時,求(CRA)∪B.
(II)設(shè)命題P:A∩B≠空集,若¬P為真命題,求實數(shù)t的取值范圍.

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