Question

【題目】如圖,在四棱錐中,丄平面,，，，，.

(1)證明丄;

(2)求二面角的正弦值;

(3)設為棱上的點,滿足異面直線與所成的角為,求的長.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2) ；(3)

【解析】

（1）要證異面直線垂直，即證線面垂直，本題需證平面

（2）作于點，連接。 為二面角的平面角，在中解出即可。

（3）過點作的平行線與線段相交，交點為，連接，；計算出AF、BF，再在中利用的余弦公式，解出EF,即可求出AE的長

（1）證明：由平面，可得，

又由，，故平面。

又平面，所以。

（2）如圖，作于點，連接。

由，，可得平面。

因此，從而為二面角的平面角。

在中，，，由此得

由（1）知，故在中，

因此所以二面角

的正弦值為。

（3）因為，故過點作的平行線必與線段相交，

設交點為，連接，；

∴或其補角為異面直線與所成的角；

由于，故；

在中，，；

∴；

∴在中，由，，

可得：；

由余弦定理，可得，，

解得：，設；

在中，；

在中，；

∴在中，，∴；

；

解得；∴。