平面圖形ABB2A2C3C如圖4所示,其中BB1C1C是矩形,BC=2,BB1=4,AB=AC=數(shù)學(xué)公式,A1B1=A1C1=數(shù)學(xué)公式.現(xiàn)將該平面圖形分別沿BC和B1C1折疊,使△ABC與△A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直,再分別連接A2A,A2B,A2C,得到如圖2所示的空間圖形,對此空間圖形解答下列問題.
(Ⅰ)證明:AA1⊥BC;
(Ⅱ)求AA1的長;
(Ⅲ)求二面角A-BC-A1的余弦值.

(Ⅰ)證明:取BC,B1C1的中點(diǎn)為點(diǎn)O,O1,連接AO,OO1,A1O,A1O1,
∵AB=AC,∴AO⊥BC
∵平面ABC⊥平面BB1C1C,平面ABC∩平面BB1C1C=BC
∴AO⊥平面BB1C1C
同理A1O1⊥平面BB1C1C,∴AO∥A1O1,∴A、O、A1、O1共面
∵OO1⊥BC,AO⊥BC,OO1∩AO=O,∴BC⊥平面OO1A1A
∵AA1?平面OO1A1A,∴AA1⊥BC;
(Ⅱ)解:延長A1O1到D,使O1D=OA,則∵O1D∥OA,∴AD∥OO1,AD=OO1,
∵OO1⊥BC,平面A1B1C1⊥平面BB1C1C,平面A1B1C1∩平面BB1C1C=B1C1,
∴OO1⊥面A1B1C1
∵AD∥OO1,
∴AD⊥面A1B1C1
∵AD=BB1=4,A1D=A1O1+O1D=2+1=3
∴AA1==5;
(Ⅲ)解:∵AO⊥BC,A1O⊥BC,∴∠AOA1是二面角A-BC-A1的平面角
在直角△OO1A1中,A1O=
在直角△OAA1中,cos∠AOA1=-
∴二面角A-BC-A1的余弦值為-
分析:(Ⅰ)證明AA1⊥BC,只需證明BC⊥平面OO1A1A,取BC,B1C1的中點(diǎn)為點(diǎn)O,O1,連接AO,OO1,A1O,A1O1,即可證得;
(Ⅱ)延長A1O1到D,使O1D=OA,則可得AD∥OO1,AD=OO1,可證OO1⊥面A1B1C1,從而AD⊥面A1B1C1,即可求AA1的長;
(Ⅲ)證明∠AOA1是二面角A-BC-A1的平面角,在直角△OAA1中,利用余弦定理,可求二面角A-BC-A1的余弦值.
點(diǎn)評:本題考查線線垂直,考查線面垂直,考查面面角,解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定,正確作出面面角.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,三行三列的方陣中有9個數(shù)aij(i=1,2,3),從中任取三 個數(shù),則任意兩個數(shù)不同行也不同列的概率是


  1. A.
    數(shù)學(xué)公式
  2. B.
    數(shù)學(xué)公式
  3. C.
    數(shù)學(xué)公式
  4. D.
    數(shù)學(xué)公式

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從1到10的正整數(shù)中,任意抽取兩個相加所得和為奇數(shù)的不同情形的種數(shù)是


  1. A.
    10
  2. B.
    15
  3. C.
    20
  4. D.
    25

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若f(x)=3sin(2x+?)+a,對任意實(shí)數(shù)x都有數(shù)學(xué)公式,且數(shù)學(xué)公式,則實(shí)數(shù)a的值等于


  1. A.
    -1
  2. B.
    -7或-1
  3. C.
    7或1
  4. D.
    ±7

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:單選題

已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式,則f-1(-x)的圖象只可能是


  1. A.
  2. B.
  3. C.
  4. D.

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給出下列8種圖象變換方法:
①將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的數(shù)學(xué)公式(縱坐標(biāo)不變);
②將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變);
③將圖象上移1個單位;
④將圖象下移1個單位;
⑤將圖象向左平移數(shù)學(xué)公式個單位;
⑥將圖象向右平移數(shù)學(xué)公式個單位;
⑦將圖象向左平移數(shù)學(xué)公式個單位;
⑧將圖象向右平移數(shù)學(xué)公式個單位.
須且只須用上述的3種變換即可由函數(shù)y=sinx的圖象得到函數(shù)y=sin(數(shù)學(xué)公式)-1的圖象,寫出所有的符合條件的答案為________.

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設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓數(shù)學(xué)公式+y2=1的左、右焦點(diǎn),P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn),且PF1⊥PF2,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為


  1. A.
    1
  2. B.
    數(shù)學(xué)公式
  3. C.
    2數(shù)學(xué)公式
  4. D.
    數(shù)學(xué)公式

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