(2013•房山區(qū)二模)對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),給出定義:設(shè)f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù),f″(x)是f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f″(x)=0有實數(shù)解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個三次函數(shù)都有“拐點”;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心,且拐點就是對稱中心.若f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+
1
6
x+1
,則該函數(shù)的對稱中心為
(
1
2
,1)
(
1
2
,1)
,計算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)
=
2012
2012
分析:根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式求出f′(x)和f″(x),令f″(x)=0,求得x的值,由此求得三次函數(shù)f(x)的對稱中心.由于函數(shù)的對稱中心為(
1
2
,1),可知f(x)+f(1-x)=2,由此能夠求出所給的式子的值.
解答:解:∵f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+
1
6
x+1
,則 f′(x)=x2-x+
1
6
,f″(x)=2x-1,令f″(x)=2x-1=0,求得x=
1
2

故函數(shù)y=f(x)的“拐點”為(
1
2
,1).
由于函數(shù)的對稱中心為(
1
2
,1),
∴f(x)+f(1-x)=2,
f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)
=2×1006=2012,
故答案為 (
1
2
,1),2012.
點評:本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查化簡計算能力,求函數(shù)的值以及函數(shù)的對稱性的應(yīng)用,屬于中檔題.
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xa
(a>0).
(Ⅰ)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)x=-5時,f(x)取得極值.
①若m≥-5,求函數(shù)f(x)在[m,m+1]上的最小值;
②求證:對任意x1,x2∈[-2,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤2.

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