Question

已知函數(shù)①f（x）=5x²；②f（x）=5cosx；③f（x）=5e^x；④f（x）=5lnx，其中對(duì)于f（x）定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量x₁，都存在唯一的自變量x₂，使

f(x1)f(x2)

=5成立的函數(shù)有（　�。﹤�(gè)．

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：驗(yàn)證f（x）定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量x₁，都存在唯一的自變量x₂，f(x2)=

25

f(x1)

，即看f(x1)\的倒數(shù)的25倍是否唯一．
對(duì)于①，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)非零實(shí)數(shù)x，都有倒數(shù)，但倒數(shù)對(duì)應(yīng)的自變量x₂有兩個(gè)，不唯一，故不滿足條件． 通過舉反例可得②④不正確．對(duì)于③，對(duì)定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量，函數(shù)都有唯一的倒數(shù)，故滿足條件．

解答： 解：對(duì)于①f（x）=5x²，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)非零實(shí)數(shù)x，都有倒數(shù)，但倒數(shù)對(duì)應(yīng)的自變量x₂，有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，故不滿足條件．
對(duì)于②f（x）=5cosx，當(dāng)x=2kπ+

π

2

時(shí)，函數(shù)值f（x）=0，函數(shù)沒有倒數(shù)，故不滿足條件．
對(duì)于③f（x）=5e^x ，對(duì)任意一個(gè)自變量，函數(shù)都有唯一的倒數(shù)，故滿足條件．
對(duì)于④f（x）=5lnx，x=1時(shí)，lnx沒有倒數(shù)，故不滿足條件．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題是選擇題，主要考查函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素，可采用逐一檢驗(yàn)的方法進(jìn)行判定，注意抓住兩個(gè)關(guān)鍵詞“任意”與“唯一”進(jìn)行判定，屬于基礎(chǔ)題．