Question

已知函數(shù)f（x）=asinx+bcosx，a≠0，x∈R，f（x）的最大值是2，且在x=

π

6

處的切線方程與直線x-y=0平行．
（1）求a、b的值；
（2）先將f（x）的圖象上每點的橫坐標縮小為原來的

1

2

，縱坐標不變，再將其向右平移

π

6

個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，已知g（a+

π

4

）=

13

10

，a∈（

π

6

，

π

2

），求cos2a的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先根據(jù)已知條件求出

a2+b2

=2，進一步利用導數(shù)求出a和b的另一個關(guān)系，進一步求出結(jié)果．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果求出f(x)=2sin(x+

π

6

)，然后根據(jù)圖象的變換求出g（x）=2sin(2x-

π

6

)，然后根據(jù)角的恒等變換2α=（2α+

π

3

）-

π

3

，進一步利用變換求的結(jié)果．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=asinx+bcosx，a≠0，x∈R，f（x）的最大值是2，
則：

a2+b2

=2
由于在x=

π

6

處的切線方程與直線x-y=0平行．
則：f′（x）=acosx-bsinx
f′(

π

6

)=acos

π

6

-bsin

π

6

=1
所以：

a2+b2 =2 acos π 6 -bsin π 6 =1

解得：

a= 3 b=1

（2）由（1）得：f(x)=2sin(x+

π

6

)
先將f（x）的圖象上每點的橫坐標縮小為原來的

1

2

，縱坐標不變，再將其向右平移

π

6

個單位，
得到函數(shù)g（x）=2sin(2x-

π

6

)
由于：g（a+

π

4

）=

13

10

，a∈（

π

6

，

π

2

），
解得：sin（2α+

π

3

）=

5

13

且2α+

π

3

∈(

2π

3

，

4π

3

)
則：cos（2α+

π

3

）=-

12

13

所以：cos2α=cos[（2α+

π

3

）-

π

3

]=cos（2α+

π

3

）cos

π

3

+sin（2α+

π

3

）sin

π

3

=

5 3 -12

26

點評：本題考查的知識點：三角函數(shù)的最值，利用導數(shù)求函數(shù)的斜率，正弦型函數(shù)的圖象的變換，角的變換，三角函數(shù)的值．