Question

已知三次函數(shù)f（x）=ax³-x²+x在（0，+∞）存在極大值點，則a的范圍是（　�。�

• A．(0，

  1

  3

  )
• B．(0，

  1

  3

  ]
• C．(-∞，

  1

  3

  )
• D．(-∞，0)∪(0，

  1

  3

  )

Answer 1

分析：先求出f′（x）=3ax²-2x+1，由題意得到f′（x）=0有兩個不同的正實數(shù)根或一正一負根，列出等價條件△＞0且a≠0，再進行求解．

解答：解：由題意知，f′（x）=3ax²-2x+1，
∵三次函數(shù)f（x）=ax³-x²+x在（0，+∞）存在極大值點，
∴f′（x）=3ax²-2x+1=0有兩個不同的正實數(shù)根或一正一負根，
①當a＞0時，此時3ax²-2x+1=0有兩個不同的正實數(shù)根，
∴

△=4-4×3a×1＞0 2 3a ＞0 1 3a ＞0

，即0＜a＜

1

3

，
②當a＜0時，此時3ax²-2x+1=0有一正一負根，
只須△＞0，即4-12a＞0，⇒a＜

1

3

，
∴a＜0
綜上，則a的范圍是(-∞，0)∪(0，

1

3

)
故選D．

點評：本題考查了導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系，本題的易錯點是容易忽略二次項的系數(shù)不為零．