Question

13．拋物線y²=8x與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）有相同的焦點(diǎn)，且該焦點(diǎn)到雙曲線C的漸近線的距離為1，則雙曲線C的方程為（　　）

• A． x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• B． y²-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{9}$-y²=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1

Answer 1

分析 先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到c=2，再求出雙曲線的漸近線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求出b的值，再求出a，問(wèn)題得以解決．

解答 解：∵拋物線y²=8x中，2p=8，
∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．
∵拋物線y²=8x與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）有相同的焦點(diǎn)，
∴c=2，
∵雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
且該焦點(diǎn)到雙曲線C的漸近線的距離為1，
∴$\frac{2b}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=1，即$\frac{2b}{2}$=1，解得b=1，
∴a²=c²-b²=3，
∴雙曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)，屬于中檔題．