Question

已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(

3

2

，1)，一個焦點是F（0，1）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若傾斜角為

π

4

的直線l與橢圓C交于A、B兩點，且|AB|=

12 2

7

，求直線l的方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）首先利用橢圓經(jīng)過的點求得方程

1

a2

+

9 4

b2

=1，利用焦點的坐標建立a²-b²=1解方程組得橢圓方程．
（2）根據(jù)直線的傾斜角為

π

4

，社直線的方程為y=x+b聯(lián)立

1

a2

+

9 4

b2

=1以弦長公式為突破口，解方程求的結(jié)果．

解答： 解：（1）橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(

3

2

，1)，
則：

1

a2

+

9 4

b2

=1  ①
橢圓的一個焦點是F（0，1）．
則a²-b²=1   ②
由①②得：a²=4  b²=3
橢圓C的方程：

y2

4

+

x2

3

=1③
（2）根據(jù)題意可知：設(shè)直線l的方程為：y=x+b④
聯(lián)立③④得：

y2 4 + x2 3 =1 y=x+b

3（x+b）²+4x²=12
整理得：7x²+6bx+3b²-12=0
∴x1+x2=-

6b

7

  x1x2=

3b2-12

7

∵|AB|=

12 2

7

=

2

|x1-x2|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

解方程得：b=±2
直線l的方程為：y=x±2
故答案為：（1）

y2

4

+

x2

3

=1
（2）直線l的方程為：y=x±2

點評：本題考查的知識點：橢圓的方程的求法．直線方程的求法，弦長公式在直線與曲線相交中的應用，解一元二次方程及根和系數(shù)之間的關(guān)系．