Question

已知A，B兩地相距200km，一只船從A地逆流行駛到B地，水流速為8km/h，船在靜水中的速度為vkm/h，（8＜v≤20），若船每小時(shí)的燃料費(fèi)與在靜水中的速度的平方成正比，當(dāng)v=12km/h時(shí)，每小時(shí)燃料費(fèi)為720元．
（1）設(shè)船每小時(shí)的燃料費(fèi)為L(zhǎng)，求L與v的關(guān)系式；
（2）為了使全程燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際速度為多少？

Answer 1

分析：（1）設(shè)出正比例函數(shù)L=kv²，代入v=12，L=720，求出k，即可得到L與v的關(guān)系式；
（2）確定函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的極值，即為最值，從而可得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)L=kv²，其中k為比例系數(shù)
由已知條件，將v=12，L=720代入，得到k=

720

122

=5…2
所以L=5v²   （8＜v≤20）…3
（2）設(shè)全程的燃料費(fèi)為y，則船每小時(shí)的燃料費(fèi)為5v²，從A地到B地的時(shí)間為

200

v-8

故y=5v²×

200

v-8

=

1000v2

v-8

（8＜v≤20）…5
∴y′=

1000v2-16000v

(v-8)2

…6
令y'=0解得v=0（舍去）或v=16…7
v∈（8，16）時(shí)，y′＜0，v∈（16，20）時(shí)，y′＞0
∴v=16時(shí)，y取得最小值     …9
∴為了使全程的燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際速度應(yīng)為16km/h．…10

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．