已知函數(shù)f（x）=
k2x+k(1-a2) ， x≥0
x2+(a2-4a)x+(3-a)2， x＜0
，其中a∈R．若對任意的非零實(shí)數(shù)x1，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立，則k的取值范圍是
（-∝，0）∪[8，+∝）
（-∝，0）∪[8，+∝）
．
分析：由于函數(shù)f（x）是分段函數(shù)，且對任意的非零實(shí)數(shù)x1，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立，得到x=0時(shí)，f（x）=k（1-a2），進(jìn)而得到，關(guān)于a的方程（3-a）2=k（1-a2）有實(shí)數(shù)解，即得△≥0，解出k即可．
解答：解：由于函數(shù)f（x）=
k2x+k(1-a2) ， x≥0
x2+(a2-4a)x+(3-a)2， x＜0
，其中a∈R，
則x=0時(shí)，f（x）=k（1-a2），
又由對任意的非零實(shí)數(shù)x1，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立
∴函數(shù)必須為連續(xù)函數(shù)，即在x=0附近的左右兩側(cè)函數(shù)值相等，
∴（3-a）2=k（1-a2）（k≠0）即（k+1）a2-6a+9-k=0有實(shí)數(shù)解，
所以△=62-4（k+1）（9-k）≥0，解得k＜0或k≥8
故答案為 （-∞，0）∪[8，+∞）．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，通過圖象比較函數(shù)值的大小，數(shù)形結(jié)合有助于我們的解題，形象直觀．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，設(shè)t=logax+logxa．
（Ⅰ）當(dāng)x∈（1，a）∪（a，+∞）時(shí)，將f（x）表示成t的函數(shù)h（t），并探究函數(shù)h（t）是否有極值；
（Ⅱ）當(dāng)k=4時(shí)，若對?x1∈（1，+∞），?x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），試求實(shí)數(shù)b的取值范圍．．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
k+1x
（k＜0），求使得f（x+k）＞1成立的x的集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=k•a-x（k，a為常數(shù)，a＞0且a≠1）的圖象過點(diǎn)A（0，1），B（3，8）．
（1）求實(shí)數(shù)k，a的值；
（2）若函數(shù)g(x)=
f(x)-1f(x)+1
，試判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•蕪湖二模）給出以下五個(gè)命題：
①命題“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是：“?x∈R，x2+x+1＜0”．
②已知函數(shù)f（x）=k•cosx的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（
π
3
，1），則函數(shù)圖象上過點(diǎn)P的切線斜率等于-
3

③a=1是直線y=ax+1和直線y=（a-2）x-1垂直的充要條件．
④函數(shù)f(x)=(
1
2
)x-x
1
3
在區(qū)間（0，1）上存在零點(diǎn)．
⑤已知向量
a
=(1，-2)與向量
b
=(1，m)的夾角為銳角，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，
1
2
）
其中正確命題的序號是
②③④
②③④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（已知函數(shù)f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，設(shè)t=logax+logxa．
（Ⅰ）當(dāng)x∈（1，a）∪（a，+∞）時(shí)，試將f（x）表示成t的函數(shù)h（t），并探究函數(shù)h（t）是否有極值；
（Ⅱ）當(dāng)k=4時(shí)，若對任意的x1∈（1，+∞），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），試求實(shí)數(shù)b的取值范圍．．

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