Question

14．項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列{a_n}中，奇數(shù)項(xiàng)和為80，偶數(shù)項(xiàng)和為75，求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)．

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{a_n}項(xiàng)數(shù)為2n+1，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得$\frac{{S}_{奇}}{{S}_{偶}}$=$\frac{n+1}{n}$=$\frac{80}{75}$解得n=15，因?yàn)镾_奇-S_偶=a_n+1=a_中，所以a₁₆=S_奇-S_偶=5．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}項(xiàng)數(shù)為2n+1，
S_奇=a₁+a₃+…+a_2n+1=$\frac{（n+1）（{a}_{1}+{a}_{2n+1}）}{2}$=（n+1）a_n+1，
S_偶=a₂+a₄+a₆+…+a_2n=$\frac{n（{a}_{2}+{a}_{2n}）}{2}$=na_n+1，
∴$\frac{{S}_{奇}}{{S}_{偶}}$=$\frac{n+1}{n}$=$\frac{80}{75}$，解得n=15，
∴項(xiàng)數(shù)2n+1=31，
又因?yàn)镾_奇-S_偶=a_n+1=a_中，
所以a₁₆=S_奇-S_偶=5，
所以中間項(xiàng)為5．

點(diǎn)評(píng) 解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，如等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)數(shù)為2n+1時(shí)，$\frac{{S}_{奇}}{{S}_{偶}}$=$\frac{n+1}{n}$并且S_奇-S_偶=a_n+1=a_中．