Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax²+$\frac{1}{x}$，其中a為常數(shù)
（1）根據(jù)a的不同取值，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若h（x）=f（x）-x-$\frac{1}{x}$＞0在[1，2]上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，求得f（-x），對(duì)a討論，當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)a≠0時(shí)，由奇偶性的定義，即可判斷；
（2）運(yùn)用參數(shù)分離，求得右邊函數(shù)的最大值，由恒成立思想，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0，x∈R}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
$f（-x）=a{（-x）^2}+\frac{1}{-x}=a{x^2}-\frac{1}{x}$，
當(dāng)a=0時(shí)，f（-x）=-f（x）為奇函數(shù)；
當(dāng)a≠0時(shí)，由f（1）=a+1，f（-1）=a-1，
知f（-1）≠-f（1），
故f（x）即不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
（2）由題意可得h（x）=ax²-x＞0在[1，2]上恒成立，
即a＞（$\frac{1}{x}$）_max，
由y=$\frac{1}{x}$在[1，2]遞減，可得（$\frac{1}{x}$）_max=1，
即有a＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，注意運(yùn)用定義和分類討論的思想方法，同時(shí)考查不等式恒成立思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．