Question

20．若{a_n}是等比數(shù)列，a₂=2，a₅=$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求和：a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過q³=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$及題意，可得公比和首項(xiàng)，進(jìn)而可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（Ⅰ）可知a_na_n+1=$（\frac{1}{2}）^{2n-5}$，進(jìn)而可得數(shù)列{a_na_n+1}是以8為首項(xiàng)，$\frac{1}{4}$為公比的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意可得q³=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{8}$，
∴q=$\frac{1}{2}$，a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=4，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為：a_n=4•$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$（\frac{1}{2}）^{n-3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a_na_n+1=$（\frac{1}{2}）^{n-3}$•$（\frac{1}{2}）^{n-2}$=$（\frac{1}{2}）^{2n-5}$，
又∵a₁a₂=$（\frac{1}{2}）^{2-5}$=8，
∴數(shù)列{a_na_n+1}是以8為首項(xiàng)，$\frac{1}{4}$為公比的等比數(shù)列，
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=8•$\frac{1-\frac{1}{{4}^{n}}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{32}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求等比數(shù)列的通項(xiàng)及求和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．